問題
（出典：日本技術士会のホームページ 過去問題（第一次試験） 基礎科目 令和4年度）
コーチング対話解答
ツトムさん今回は3次元ベクトルの内積と外積の基本性質を確認する問題ですね。
マナブ先生注意する点はどこだと思いますか？
ツトムさん内積は結果がスカラーとなり、
外積は結果がベクトルです。
また、
内積は交換法則が成り立ちますが、
外積は交換した時に符号が変わるという点ですね。
マナブ先生良く理解できていますね。
そこまで理解できていればすぐに解答できますね。
ツトムさんそうですね。
②が外積なのに交換法則が成り立っているような式になっていますので、これが成立しません。
マナブ先生その通りです。
選択肢の内容を見る前に、内積と外積の特徴についておさらいしてみましょうか。
まず、内積はどのような式ですか？
ツトムさん下図のようなベクトル\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)を考えると、
\[
\vec{a}\cdot\vec{b} = |a|\,|b|\cos\theta
\]
となります。
マナブ先生これはどのような意味ですか？
ツトムさん\(|\vec{a}|\cos\theta\)というのは、\(\vec{a}\)から\(\vec{b}\)に垂直に下ろした大きさ\(|h|\)となります。
その\(|h|\)と\(\vec{b}\)の大きさ\(|b|\)の掛け算になります。
マナブ先生それからどのようなことが分かりますか？
ツトムさんええっと…
マナブ先生今の図で\(\vec{b}\)を\(\vec{b}\)方向の単位ベクトルだとするとどうなりますか？
ツトムさん\(\vec{a}\)の\(\vec{b}\)方向成分になるのですね。
つまり、\(\vec{a}\)の\(\vec{b}\)方向の成分を取り出すことができるということですね。
マナブ先生そうです。
また、cosを使っているというところが重要ですね。
これにより、\(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)の関係が分かります。
ツトムさんそうですね。
\(\theta\)が0に近いほど、つまり\(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)が同じ方向を向いていればいるほど、値が大きくなりますが、直角になると0になり、逆方向を向いているとマイナスになりますからね。
マナブ先生その通りです。
数学の問題だけでなく、ある二つの事象の特性をベクトルに置き換えて、それらの内積を取ることで二つの事象の「特性の近さ」を数値に置き換えることができます。
ツトムさん内積にはそのような使い方もあるのですね。
マナブ先生それでは外積について説明してもらえますか。
ツトムさん\(\vec{a} \times \vec{b}\)の場合は、\(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)の両方に垂直で、\(\vec{a}\)から\(\vec{b}\)方向に右ねじを回して進む方向、下の図では上の方向で、大きさが\(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)で作られる平行四辺形の面積\(S\)となるようなベクトルです。
ツトムさん面積\(S\)は式で書くと
\[
|\vec{a} \times \vec{b}| = |a|\,|b|\sin\theta
\]
となります。
マナブ先生そうですね。
外積は方向を持っているベクトルだということですね。
ですから、\(\vec{b} \times \vec{a}\)のように\(\vec{b}\)を先に書くと、\(\vec{b}\)から\(\vec{a}\)に向かって右ねじを回した時にねじが進む方向、つまり先ほどの絵では下方向のベクトルになるのですね。
よって交換則は成り立たず、符号が逆になります。
\[
\vec{a} \times \vec{b} = – \vec{b} \times \vec{a}
\]
外積の物理的な応用としてはどのようなものがありますか？
ツトムさん\(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)が作る平面の法線ベクトルを求める時に使えますね。
マナブ先生そうですね。
それでは選択肢を見ていきましょう。
まず➀はどうでしょうか？
ツトムさん➀は
\[
(a \times b) \cdot a = 0
\]
ですね。\(\vec{a} \times \vec{b}\)は外積なので\(\vec{a}\)に垂直なベクトルですから、それと\(\vec{a}\)との内積は0になりますので正しいです。
マナブ先生その通りです。
次の②は誤っていて、向きが逆になりますね。
③はどうですか。
ツトムさん内積は交換法則が成り立ちますので、合っています。
マナブ先生そうですね。
それでは④は？
ツトムさん➀と同じで、\(\vec{a} \times \vec{b}\)は外積なので\(\vec{b}\)に垂直なベクトルですから、それと\(\vec{b}\)との内積は0になります。
よって、正しいです。
マナブ先生そうです。
最後の⑤は？
ツトムさん\[
|\vec{a} \times \vec{a}| = |a|\,|a|\sin0 = 0
\]
となり正しいです。
マナブ先生外積の大きさは二つのベクトルが作る面積ですので、同じ方向のベクトルの場合は、面積が0になるので、外積も0ですね。
