問題
（出典：日本技術士会のホームページ 過去問題（第一次試験） 基礎科目 令和5年度）
コーチング対話解答
ツトムさん3×3行列ですので、掃き出し法を用いて計算していきます。
まず、以下のように、単位行列を並べた行列[A I]を作り、
行に関する基本変形を用いて、[I A-1]の形にするのですよね。
\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
a & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
b & c & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]
マナブ先生オーソドックスなやり方ですね。丁寧にやっていきましょう。
ツトムさんまずは2行目から1行目を\(a\)倍したものを引き、
３行目から１行目を\(b\)倍したものを引きます。
\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -a & 1 & 0 \\
0 & c & 1 & -b & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]
次に、3行目から2行目を\(c\)倍したものを引きます。
\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -a & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -b+ac & -c & 1
\end{array}
\right]
\]
これで左側が単位行列になりましたので、右側が逆行列となります。
答えは④ ですね。
マナブ先生その通りです。
ただ、問題を解いていて感じたと思いますが、非常に簡単な方法でした。
それは、行列の形に特徴があります。
ツトムさん下三角行列で、対角成分が全て１ですね。
マナブ先生その通りです。
このタイプは単位行列に「下だけ」くっついた形です。
よって、掃き出し法による計算も非常に簡単だったのです。
この場合は、逆行列も同じ形で、
下三角行列で対角成分が全て１になるのです。
ツトムさんそれでは逆行列を以下のようにおくことができるのですね。
\[
A^{-1}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
x & 1 & 0 \\
y & z & 1
\end{bmatrix}
\]
マナブ先生逆行列の定義は？
ツトムさんAA-1=I です。
マナブ先生それに代入して\(x\)、\(y\)、\(z\)を求めていけばいいのですね。
ツトムさん\[
AA^{-1}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
a & 1 & 0 \\
b & c & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
x & 1 & 0 \\
y & z & 1
\end{bmatrix}
\]
\[
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
a+x & 1 & 0 \\
b+cx+y & c+z & 1
\end{bmatrix}
\]
\[
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
(2,1)成分は、\(a+x=0\)となり、\(x=-a\) ですね。
(3,2)成分は、\(c+z=0\)となり、\(z=-c\) ですね。
(3,1)成分は、\(b+cx+y=0\)となり、\(x=-a\)を代入して、
\(y=ac-b\) となります。
先ほどと同じ結果になりました。
マナブ先生そうですね。
行列の形を見て、解法を選べるようになるといいですね。
