令和5年度技術士第一次試験：I 基礎科目：Ｉ－３－５

これは変速機が付いた系でのトルクを求める問題ですね。
変速機が無い場合の単純な系でのトルク\(τ\)は
円盤の慣性モーメント\(I\)と角加速度\(α\)から以下のように求められますね。
\[
\tau=I\alpha
\]

そうですね。
基本的な部分は押さえられていますね。
角加速度\(α\)はどのように与えられていますか？

この問題では\(T\)時間の間に、角速度が\(\omega_1\)から\(\omega_2\)に変化するので、
\[
\alpha=\frac{\omega_2-\omega_1}{T}
\]
として与えられています。
よって、円盤側、つまり出力側に必要なトルク\(\tau_{\mathrm{out}}\)は、
\[
\tau_{out}=I\,\frac{\omega_2-\omega_1}{T}
\]
となります。
そこで変速機による効果を考慮しないといけません。

問題文では、入力軸と出力軸の回転速度の比が
\[
1:1/n
\]
となっています。これはどういう意味ですか？

入力軸が１回転する間に、出力軸は\(1/n\)回転するという意味です。
角速度で表すと、入力側の角速度を\(\omega_{\mathrm{in}}\)、出力側の角速度を\(\omega_{\mathrm{out}}\)とすると、
\[
\omega_{\mathrm{out}}
=
\frac{1}{n}\cdot\omega_{\mathrm{in}}
\]
となります。
出力側の角速度が小さくなっていますので、減速機ですね。

その通りです。
では、効率１、つまり損失が無いなら、入力側と出力側の動力は等しくなりますね。

そうですね。
動力\(L\)はトルク\(\tau\)と角速度\(\omega\)の積ですから、
\[
L
=
\tau_{\mathrm{in}}\cdot\omega_{\mathrm{in}}
=
\tau_{\mathrm{out}}\cdot\omega_{\mathrm{out}}
\]
となり、先ほどの式を入れると、
\[
\tau_{\mathrm{in}}\cdot\omega_{\mathrm{in}}
=
\tau_{\mathrm{out}}\cdot\frac{1}{n}\cdot\omega_{\mathrm{in}}
\]
となりますから、
\[
\tau_{\mathrm{in}}
=
\frac{1}{n}\cdot\tau_{\mathrm{out}}
\]
です。

つまり、モータ側に必要なトルク\(\tau_{\mathrm{in}}\)はどうなりますか？

\[
\tau_{\mathrm{in}}
=
\frac{1}{n}\cdot\,I\cdot\frac{\omega_2-\omega_1}{T}
\]
となりますので、答えは②　です。

正解です。

順を追って回答していけば、正解にたどり着けますが、
変速機の部分で単純に\(n\)をかけてしまうなどの
ミスをしないようにしないといけないですね。