令和6年度技術士第一次試験：I 基礎科目：Ｉ－３－１

ヤコビ行列は、変数変換の時に出てくるものですね。
けれどここでは、単に合成関数の偏微分の問題になるのですかね。

そこまで見抜けたのはえらいですね。それでどのように解きますか？

与えられている関数\(u\)は
\[
u = u\bigl(f(x,y),\, g(x,y)\bigr)
\]
ですので、これは多変数の連鎖律・チェーンルールの問題だと分かります。
与えられている式は
\[
\begin{bmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x} \\
\frac{\partial u}{\partial y}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
J
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{\partial u}{\partial f} \\
\frac{\partial u}{\partial g}
\end{bmatrix}
\]
ですから、\( [J] \)が何かを答える問題ですね。

その通り。
まず、この問題の出題背景から押さえてみましょう。
これは単なる偏微分の計算問題ではなくて、
合成関数の微分を行列で表せるか
ヤコビ行列の向き（並び）を正しく理解しているか
を確認する問題なんですよ。
工学や情報、制御、ロボット工学でも、変数変換は頻繁に出てきます。
たとえば、座標変換やセンサ値から別の物理量を求めるときに、ヤコビ行列はとても重要です。
それでは偏微分をしてみてください。

\( u \)の式を\( x \)と\( y \)で偏微分するのですね。
まず\( x \)で偏微分します。
\[
\frac{\partial u}{\partial x}
= \frac{\partial u}{\partial f}\cdot\frac{\partial f}{\partial x}
+ \frac{\partial u}{\partial g}\cdot\frac{\partial g}{\partial x}
\]
次に、\( y \)で偏微分します。
\[
\frac{\partial u}{\partial y}
= \frac{\partial u}{\partial f}\cdot\frac{\partial f}{\partial y}
+ \frac{\partial u}{\partial g}\cdot\frac{\partial g}{\partial y}
\]
これらを行列の形にすると、
\[
\begin{bmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x} \\
\frac{\partial u}{\partial y}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial x} \\
\frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial g}{\partial y}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{\partial u}{\partial f} \\
\frac{\partial u}{\partial g}
\end{bmatrix}
\]
となり、\( [J] \)は④　になります。

よくできました。ツトムさんはこの偏微分の行列での表し方を良く理解できているのでいいですが、初心者はいきなり行列で考えると混乱しやすいので、まずは
\[ \frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial u}{\partial y} \]
を普通の連鎖律で書くのがいいでしょう。

そうですね。
の問題では左辺が
\[
\begin{bmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x} \\
\frac{\partial u}{\partial y}
\end{bmatrix}
\]
なので、行列\( [J] \)の各行はそれぞれ、
1行目：\( \frac{\partial}{\partial x} \)に対応
2行目：\( \frac{\partial}{\partial y} \)に対応
しなければなりません。
また、右側のベクトルが
\[
\begin{bmatrix}
\frac{\partial u}{\partial f} \\
\frac{\partial u}{\partial g}
\end{bmatrix}
\]
なので、列は
1列目：\( f \)
2列目：\( g \)
に対応します。

そうですね。混乱してしまうと分子と分母を逆にしてしまったり、行列の順番を間違えてしまうことがありますので、冷静に計算していきたいですね。

はい。私は次の順番で考えるようにしています。
１．まず連鎖律をスカラーで書く
２．左辺ベクトルの並びを見る
３．右辺ベクトルの並びを見る
４．係数をそのまま並べる
こうすると転置ミスを避けやすいです。

素晴らしいです。
最初にツトムさんが言っていたように、
ヤコビ行列は変数変換の時に使いますので、この関係を覚えておくと良いですね。