令和6年度技術士第一次試験：I 基礎科目：Ｉ－３－２

ベクトル解析の問題もよく出ますが、今回はベクトルの内積や外積に関する問題ですね。

そうですね。
ベクトルの図形的意味を問う問題ですので、問題文に与えられた条件を図示することで簡単に答えを得ることができます。

問題文から
・原点を始点とするベクトル\( \vec{a} \)、\( \vec{b} \)
・\( |\vec{b}|=1 \)
・\( \vec{a} \)の終点から、\( \vec{b} \)が定める直線への垂線を表すベクトル
ですので、以下のような図になり、ベクトル \(
\overrightarrow{AH}
\) を求めればいいのですね。

問題の内容が正しく反映されていますね。
この問題では、
・ベクトルの射影
・内積の意味
・幾何学的な分解
が分かっているかが問われています。工学では、力の分解、速度成分、誤差ベクトル、最短距離など、いろいろな場面で出てきますね。
それでは解いてみてください。

\[
\overrightarrow{AH}
=\vec{h} – \vec{a}
\]
となります。ベクトル \( \vec{h} \) は \( \vec{a} \) を \( \vec{b} \) に射影したベクトルになるので、
内積を使って表すことができます。\( \vec{b} \) の大きさは１なので、
\[
\vec{h}
=
\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{| b |^2}\,\vec{b}
=
(\vec{a}\cdot\vec{b})\,\vec{b}
\]
となります。

ここで\( |\vec{b}|=1 \) という条件が効いているのですね。

よって、求めるものは、
\[
\overrightarrow{AH}
=
(\vec{a}\cdot\vec{b})\,\vec{b}
–
\vec{a}
\]
となり、解答は②　です。

ベクトルの方向も重要なので、図を書くとそれが一目瞭然になります。