令和6年度技術士第一次試験：I 基礎科目：Ｉ－３－３

このフローチャートは「非線形方程式 \( f(x)=0 \) の近似解」を
ニュートン－ラフソン法で求める流れですね。
過去にも全く同じ問題が出題されています。
空欄（ア）は更新量 \( Δx \) を作る式、（イ）は収束判定かなと思います。

いい読みですね。まず確認しましょう。
ニュートン－ラフソン法の基本式はどうなっていますか？

\[
x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
\]
です。

そうですね。その式は覚えておいた方がいいですが、
簡単なグラフを描いて、それから求めることもできますね。

はい。図のように関数 \(y=f(x)\) 上の点 \((x_{n}, f(x_{n}))\) での傾きは \(f'(x_{n})\) になりますので、この接線の式は
\[
y-f(x_{n})=f'(x_{n})(x-x_{n})
\]
となりますので、\(x\)軸上、つまり\(y=0\) の値は \(x_{n+1}\) となり、
\[
-f(x_{n})=f'(x_{n})(x_{n+1}-x_{n})
\]
これを変形して、
\[
x_{n+1} – x_n = \Delta x = -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
\]
となります。

そうですね。公式を覚えているつもりでも、
\(f(x)\) と \(f'(x)\) の関係を逆にしてしまうこともあるので、グラフで確認することも重要ですね。

この図はニュートン－ラフソン法の考え方を確認する上でも重要ですね。

そうですね。逐次代入法で \(x\) の値がどんどんと求める解に近づいていくことを理解することが重要です。
そして次はどうですか？

（イ）は収束条件ですので、\(
|\Delta x| < \varepsilon
\)　です。
よって、正解は⑤　になります。

その通りです。
技術士第一次試験では基本的な考え方を問う問題なので出題されることは無いと思いますが、
実際に使う上では初期の \(x\) の値を何から始めるのかや、周期的な関数の場合はどうするか等に注意が必要ですね。