4-3．母分散がわからなくても推定できる ― \(t\)分布を使った母平均の区間推定

前回は、母集団の標準偏差 \(\sigma\) が分かっている場合の
母平均の区間推定を考えましたね。
95％信頼区間は、
$$ \bar{x} \pm 1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$
でした。

はい。
でも、実際の仕事では母平均が分からないのに、
母標準偏差だけ分かっているという状況は、
あまり多くなさそうですね。

まさにそこです。
品質管理の現場で新しい工程を調べるとき、
「母平均は分かりません。でも母標準偏差は正確に分かっています」
ということは、それほど多くありません。
では、母標準偏差 \(\sigma\) が分からなかったら、
代わりに何を使えばよいでしょう？

前回勉強した標本の標準偏差 \(s\) でしょうか？

そうですね。
標本から求めた不偏分散 \(s^2\)、そしてその平方根である \(s\) を使います。
ただし、一つ問題があります。

例えば、同じ母集団から10個の標本を取り、
$$ s=5 $$
だったとします。
別の10個を取り直したら、同じ \(s=5\) になるでしょうか？

ならないと思います。
標本が変われば、標準偏差も少し変わりますよね。

そうです。
母標準偏差 \(\sigma\) は母集団に固有の値ですが、
標本標準偏差 \(s\) は標本によってばらつきます。
つまり、
$$ \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} $$
で使っていた確かな \(\sigma\) の代わりに、不確かな \(s\) を使うことになります。

ということは、前と同じ標準正規分布をそのまま使うと、
少し自信を持ちすぎることになりそうですね。

とてもいい表現です。
その「追加の不確かさ」を反映した分布が、
「\(t\)分布（t distribution）」
です。

\(t\)分布も釣鐘型なんですか？

はい。
中心は0で左右対称です。
見た目は標準正規分布によく似ています。
ただし、標本数が少ないときは、正規分布よりも裾が厚い形になります。

裾が厚いというのは、平均から大きく離れた値が出る可能性を、
正規分布より少し大きく見ているということですか？

その通りです。
母標準偏差 \(\sigma\) が分からず、標本から求めた \(s\) を使っているので、その不確かさの分だけ慎重に考えているわけです。

だから、95％信頼区間も少し広くなるんですね。

そうです。
ところで、\(t\)分布には標準正規分布との大きな違いがあります。
標準正規分布は一つだけですが、
\(t\)分布は一つではありません。

何によって形が変わるんですか？

自由度です。
標本数が \(n\) 個なら、今回使う自由度は、
$$ \nu=n-1 $$
です。

また \(n-1\) が出てきましたね。
前回の不偏分散と同じですね。

そうです。
標本標準偏差 \(s\) を計算するときに、標本平均 \(\bar{x}\) を使っていますから、自由度は \(n-1\) になります。
自由度が小さい\(t\)分布は裾が厚く、自由度が大きくなるにつれて標準正規分布に近づいていきます。
自由度\(n-1\)の値が、2、6、∞の場合のグラフを見せます。

つまり、標本数が増えるほど \(s\) も母標準偏差 \(\sigma\) を安定して推定できるようになるので、正規分布に近づくんですね。

その理解でいいですね。
標本数\(n\)が30以上になると、
\(t\)分布は正規分布とほぼ同じ形になります。

でも、これだと正規分布表のようなものが
自由度の数だけ必要になってしまうのでしょうか？

そうなんです。
でも、実際に使う場面では
中心から\(t\)だけ離れた個所から外側の両すその面積、
つまり確率が0.1や0.05になる時の値が分かればいいケースがほとんどですので、それだけを抜き出した表が準備されています。

この表は縦が自由度\(n-1\)になっています。
それぞれの自由度に対して、確率が0.1、0.05、0.025、0.02、0.01、0.005の場合の\(t\)の値が示されています。

少し余談ですが、\(t\)分布を実用的に研究した人物として有名なのが、
ウィリアム・シーリー・ゴセットです。
彼はイギリスのギネス社で働いていた技術者でした。

あの黒ビールのギネスですか？

そうです。
ビール製造では、原料や製造条件を評価したくても、
いつでも大量のデータを取れるわけではありません。
そこで、少ない標本からどこまで信頼できる判断ができるか
が重要でした。
ゴセットは論文を発表するときにStudentという筆名を使ったため、
　　「Studentの\(t\)分布」
と呼ばれるようになりました。

品質管理のような実務上の問題から生まれた分布なんですね。

そう考えると、少し身近に感じますね。

では、実際に\(t\)分布表を使ってみましょう。
標本数を、
$$ n=10 $$
とします。
自由度はいくつですか？

$$ 10-1=9 $$
なので、自由度9です。

95％信頼区間を作るなら、中央に95％を残します。
外側には全部で何％残りますか？

5％です。
左右対称なので、片側は2.5％ずつですね。

そうです。
では、自由度9の\(t\)分布で、
上側2.5％
になる\(t\)値を表から探してみましょう。

自由度9の行と、上側確率0.025の列を見ると……
$$ 2.262 $$
です。

そうですね。
したがって、
$$ -2.262\le t\le2.262 $$
の中央部分が95％になります。

標準正規分布なら1.96だったのに、\(t\)分布では2.262なんですね。

この違いは何を意味していると思いますか？

\(t\)分布の方が裾が厚いので、
95％を中央に入れるには、
より遠いところまで取らないといけない。
だから信頼区間が広くなるんですね。

その通りです。

\(t\)分布表も、今ならExcelで計算できますよね。

もちろんです。
Excelでは、主に次の関数を使います。

例えば、自由度9で両側5％に対応する\(t\)値なら、
T.INV.2T(0.05,9)
とすれば、
$$ 2.262\ldots $$
が得られます。

関数名を見るだけでなんとなくわかりますね。

そうですね。
ただしExcelを使うときも、
片側確率なのか、両側確率なのか
を意識することが大切です。

では、一般的な形にまとめましょう。

前回の、
$$ z= \frac{\bar{x}-\mu} {\sigma/\sqrt{n}} $$
とほとんど同じですね。

そうです。
違うのは、
$$ \sigma $$
が分からないので、
$$ s $$
を使っているところです。
その結果、標準正規分布ではなく\(t\)分布を使います。
母標準偏差が未知の場合の95％信頼区間
自由度を、
$$ \nu=n-1 $$
とすると、母平均 \(\mu\) の95％信頼区間は、
$$ \bar{x} \pm t_{0.025,\nu} \frac{s}{\sqrt{n}} $$
です。
ここで、
$$ t_{0.025,\nu} $$
は、自由度 \(\nu\) の\(t\)分布で上側2.5％となる値です。

標準正規分布の1.96が、
\(t\)分布の値に置き換わっただけなんですね。

そう考えると、とても分かりやすいですね。

では、品質管理らしい例で計算してみましょう。

10個ですから、今回は手計算してみましょうか。
まず、何を求めますか？

標本平均 \(\bar{x}\) と、標本標準偏差 \(s\) ですね。

まず標本平均です。
全部足すと、
$$ 1000.0 $$
ですから、
$$ \bar{x} = \frac{1000.0}{10} = 100.0\ \mathrm{mL} $$
です。
きれいに100 mLになりましたね。

計算しやすい例にしました（笑）。

では、それぞれ100.0からどのくらい離れているかを見てみましょう。

偏差は、
$$ -0.8,\ 0.5,\ -1.2,\ 1.1,\ -0.3, $$ $$ 0.3,\ -0.5,\ 0.8,\ -1.1,\ 1.2 $$
ですね。
これを二乗すると、
$$ 0.64,\ 0.25,\ 1.44,\ 1.21,\ 0.09, $$ $$ 0.09,\ 0.25,\ 0.64,\ 1.21,\ 1.44 $$
です。
全部足すと、
$$ 7.26 $$
になります。

これが偏差平方和ですね。

標本から母分散を推定するので、\(n\) ではなく \(n-1\) で割ります。
$$ s^2 = \frac{7.26}{10-1} = \frac{7.26}{9} \approx0.8067 $$
したがって、
$$ s = \sqrt{0.8067} \approx0.898 \ \mathrm{mL} $$
です。

いいですね。
では標準誤差は？

$$ \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.898}{\sqrt{10}} $$
なので、
$$ \approx0.284\ \mathrm{mL} $$
です。

標本数は10ですから自由度は？

$$ \nu=10-1=9 $$
です。
95％信頼区間なので、上側2.5％の\(t\)値は、
$$ t_{0.025,9}=2.262 $$
ですね。

では公式、
$$ \bar{x} \pm t_{0.025,9} \frac{s}{\sqrt{n}} $$
に代入します。
$$ 100.0 \pm 2.262 \times \frac{0.898}{\sqrt{10}} $$
なので、
$$ 100.0\pm0.642 $$
くらいですね。
したがって、
$$ 99.36\ \mathrm{mL} \le \mu \le 100.64\ \mathrm{mL} $$
となります。

よくできました。

さて、計算は終わりました。
でも統計解析では、ここからが大切です。
この、
$$ 99.36\le\mu\le100.64 $$
は何を意味しているのでしょう？

母平均が95％の確率でこの間にある……
と言いたくなりますけど、前回それは少し違うと習いましたね。

そうでしたね。
正確には、
同じ方法で10本を抽出して95％信頼区間を作る作業を
何度も繰り返せば、その区間の約95％が真の母平均を含む
という意味です。

そうでした。
そして今回の標本から作った信頼区間が、
$$ 99.36\sim100.64\ \mathrm{mL} $$
ということですね。

では、もし母標準偏差が本当に、
$$ \sigma=0.898 $$
と分かっていたと仮定したら、
前回の方法では何を使いますか？

1.96です。

今回は母標準偏差が未知なので？
ユキさん

自由度9の\(t\)値、
$$ 2.262 $$
です。

どちらが大きいですか？

2.262です。
だから母標準偏差が分からない方が信頼区間は少し広くなります。

なぜでしたか？

\(\sigma\) の代わりに標本から求めた \(s\) を使うため、その分の不確かさも考慮する必要があるからです。

完璧です。

標本数\(n\)が30以上になると、
\(t\)分布は正規分布とほぼ同じ形になるということでしたが、
そうすると、
「標本数が30未満なら\(t\)分布、30以上なら正規分布」
と覚えておけばいいですか？

よく聞く目安ですが、それを絶対的なルールとして覚えない方がいいでしょう。
本質は標本数30ではありません。
母標準偏差 \(\sigma\) が未知で、
それを標本標準偏差 \(s\) で置き換える場合に\(t\)分布が登場します。
そして自由度が大きくなれば、
\(t\)分布そのものが標準正規分布に非常に近づいていきます。

つまり、標本が多いから「急に別の方法になる」のではなくて、
標本が増えるにつれて\(t\)分布が
だんだん正規分布に近づいているんですね。

そう理解する方が正確です。

ではユキさん、前回と今回の違いを整理してみてください。

母標準偏差 \(\sigma\) が既知なら、
$$ z= \frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} $$
を使って標準正規分布で考えます。
母標準偏差 \(\sigma\) が未知なら、標本から求めた \(s\) を使って、
$$ t= \frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}} $$
とし、自由度 \(n-1\) の\(t\)分布を使います。

いいですね。
信頼区間は？

母標準偏差が既知なら、
$$ \bar{x} \pm 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$
母標準偏差が未知なら、
$$ \bar{x} \pm t_{0.025,n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} $$
です。

そして、なぜ\(t\)分布の方が裾が厚いのでしょう？

母標準偏差 \(\sigma\) の代わりに、
標本によって変動する \(s\) を使っているから。
その追加の不確かさを考慮しているからですね。

その理解ができていれば、
式を丸暗記しなくても大丈夫です。