4-5．「合格・不合格」を確率で考える ― 二項分布

中心極限定理まで来たので、
もう一つ、
品質管理でとてもよく使う分布を見てみましょう。

正規分布とは少し違うタイプの分布です。
例えばユキさん、製造現場でデータを取るとき、
「寸法が何mmだった」
という数値以外に、どんな記録がありますか？

そうですね。
「合格、不合格」とか、
「良品、不良品」とかでしょうか。

そうですね。
ほかにも、
「故障した、故障していない」
「異常を検出した、検出しなかった」
というデータがあります。
このように、結果が二つに分かれる現象を確率で扱うときに
登場するのが、今日の二項分布(binominal distribution)です。

いきなり品質の話にすると少し固いので、
まずはリンゴとミカンで考えてみましょう。
大きな箱の中に、リンゴとミカンがたくさん入っているとします。
リンゴを取り出す確率を、
$$ p $$
としましょう。
では、ミカンを取り出す確率は？

全部で確率1ですから、
$$ 1-p $$
ですね。

そうです。
これを、
$$ q=1-p $$
と置くことにしましょう。
したがって、
$$ \text{リンゴ：}p $$ $$ \text{ミカン：}q $$
です。
ここでは、1個取り出したら元の箱に戻してから
次を取り出すことにします。
そうすれば、毎回、
$$ p,\quad q $$
という確率は変わりません。

毎回同じ条件で取り出すわけですね。

そうです。
二項分布では、
各回が独立で、目的とする事象が起こる確率 \(p\) が毎回同じ
ということが重要です。

では、2回続けて取り出してみましょう。
どんな組み合わせがありますか？

4通りですね。
リンゴ・リンゴ
リンゴ・ミカン
ミカン・リンゴ
ミカン・ミカン
です。

それぞれの確率は？

独立なので掛け算をすればいいですね。
リンゴ・リンゴなら、
$$ p\times p=p^2 $$
リンゴ・ミカンなら、
$$ pq $$
ミカン・リンゴなら、
$$ qp $$
ミカン・ミカンなら、
$$ q^2 $$
です。

では、順番ではなく、
「リンゴが何個出たか」
だけに注目して整理してみましょう。

リンゴ2個は、
$$ p^2 $$
リンゴ1個は、
リンゴ・ミカンとミカン・リンゴの2通りなので、
$$ 2pq $$
リンゴ0個は、
$$ q^2 $$
です。

では、この三つの確率を全部足したら？

必ずどれかが起きるので、
$$ p^2+2pq+q^2=1 $$
です。

左辺を見て、どこかで見た形ではありませんか？

あっ。
$$ p^2+2pq+q^2 = (p+q)^2 $$
ですね。
しかも、
$$ p+q=1 $$
なので、
$$ (p+q)^2=1 $$
です。

そうです。
\(p\)と\(q\)という2つの項がある二項式の展開になっています。
「二項分布」という名前のヒントが見えてきましたね。

では3回取り出す場合を考えてみましょう。
リンゴが3個の場合は？

全部リンゴなので、
$$ p^3 $$
です。

リンゴが2個なら？

組み合わせは、
リンゴ・リンゴ・ミカン
リンゴ・ミカン・リンゴ
ミカン・リンゴ・リンゴ
の3通りです。
それぞれの確率は \(p^2q\) なので、
$$ 3p^2q $$
ですね。

ではリンゴ1個は？

今度も3通りあるので、
$$ 3pq^2 $$
です。
リンゴ0個なら、
$$ q^3 $$
です。
したがって全部足すと、
$$ p^3+3p^2q+3pq^2+q^3 $$
です。

因数分解すると？

$$ (p+q)^3 $$
ですね。
そして \(p+q=1\) だから、
$$ (p+q)^3=1 $$
です。

また二項式の展開が出てきましたね。

では、この操作を4回、5回……と増やして、
全部で \(n\) 回行ったとします。
そのうちリンゴが \(x\) 回出る確率を考えてみましょう。
まず、一つの特定の並び、
例えばリンゴが \(x\) 回、ミカンが \(n-x\) 回出る確率はどうなりますか？

リンゴ1回が \(p\)、ミカン1回が \(q\) ですから、
$$ p^xq^{\,n-x} $$
ですね。

そうです。
でも、その並び方は一つだけではありませんね。
リンゴが \(x\) 回出る並び方は何通りでしょう？

\(n\) 個の場所から、リンゴになる \(x\) 個の場所を選ぶので、
$$ {}_nC_x $$
ですね。

その通りです。
したがって、
$$ P(X=x) = {}_nC_x p^x (1-p)^{n-x} $$
となります。
ここで、
$$ x=0,1,2,\ldots,n $$
です。

最初にこの式だけ見たら難しそうですが、今の流れで見ると、
「1つの並び方の確率」×「その並び方が何通りあるか」
なんですね。

まさにそうです。
統計の式も、中身を分解すると意外と単純でしょう。

では実際に二項分布の形を見てみましょう。
サイコロを10回振ります。
「1が出る」という事象に注目しましょう。
1回の試行で1が出る確率は？

$$ p=\frac16 $$
です。

では10回振ったとき、
$$ X\sim B\left(10,\frac16\right) $$
ですね。

グラフを見ると、どう感じますか？

1回出る確率が一番高いですね。
でも左右対称ではありません。
右側に少し長く伸びています。

そうですね。
実際、
1回出る確率は約、
$$ 0.323 $$
2回出る確率は約、
$$ 0.291 $$
です。
この場合は \(p\) が0.5よりかなり小さいので、
分布は左右対称ではなく、
右側に長い裾を持つ形
になります。

では、今度は公平なコインを10回投げて、
「表が出る回数」
を考えてみましょう。
1回で表が出る確率は？

$$ p=0.5 $$
です。

ですから、
$$ X\sim B(10,0.5) $$
ですね。

先ほどと比べてどうですか？

今度は5回を中心に左右対称ですね。
それに……
正規分布の釣鐘型に少し似ています。

そこが面白いところです。
二項分布は離散分布なので棒状ですが、
\(p=0.5\) で \(n\) が大きくなると、見た目は正規分布にかなり近づいていきます。

ここでも正規分布ですか（笑）。

また出てきましたね。
例えば、
$$ X\sim B(n,p) $$
の平均と分散は、
$$ \mu=np $$ $$ \sigma^2=np(1-p) $$
となります。
したがって標準偏差は、
$$ \sigma = \sqrt{np(1-p)} $$
です。
そして \(n\) が大きく、成功と失敗の期待回数、
$$ np $$
と、
$$ n(1-p) $$
の両方が十分大きければ、二項分布は、
$$ N\left(np,\ np(1-p)\right) $$
という正規分布で近似できるようになります。

前回の中心極限定理とつながっているんですね。

そうです。
ただし、
「\(n\) が大きければ何でも正規分布で近似できる」
というわけではありません。
例えば \(p\) が非常に小さい場合には、
\(n\) がそこそこ大きくても右に強く歪んだままのことがあります。
ですから実務では、
$$ np $$
と、
$$ n(1-p) $$
が十分大きいかどうかも確認します。

ところでユキさん。
二項分布の平均が、
$$ np $$
というのは、直感的にどう思いますか？

例えば不良率が10％なら、
$$ p=0.1 $$
ですよね。
100個調べれば、
$$ 100\times0.1=10 $$
なので、平均的に10個くらい不良が出る。
そう考えれば自然ですね。

その通りです。
二項分布の平均、
$$ \mu=np $$
は、
「n回試したら、平均的に何回起きるか」
を表しています。

では、品質管理の場面に戻しましょう。
ある製造工程の不良率が、
$$ p=0.02 $$
つまり2％だとします。
そこから100個の製品を無作為に調べます。
不良品の個数 \(x\) は何に従うでしょう？

各製品が「不良」か「良品」のどちらかで、
不良になる確率が2％で一定、
それを100回見るので、
$$ X\sim B(100,0.02) $$
ですね。

そうです。
では、不良品数の平均は？

$$ np = 100\times0.02 = 2 $$
なので、平均2個です。

そうですね。
ただし、
「必ず2個出る」
という意味ではありません。
0個のこともあれば、1個、3個、4個ということもあります。
その回数と確率の関係を表しているのが二項分布です。

では、「良品／不良品」のデータなら、
全部二項分布と考えていいのでしょうか？

ここでも条件を確認することが大切です。
二項分布を使う基本条件を考えてみましょう。
まず、1回の結果はいくつですか？

2つです。
例えば「不良」か「良品」。

そうですね。
次に、不良になる確率 \(p\) は？

毎回同じである必要があります。

そして各製品は？

互いに独立に考えられる必要があります。

そうです。
整理すると、基本的には以下のようになります。

例えば午前中の不良率が1％だったのに、工具が摩耗して午後には10％になっていたとします。
その1日分を全部まとめて、
$$ p=一定 $$
と考えてよいでしょうか？

駄目ですね。
不良率が時間によって変わっています。

そうですね。
数式にデータを入れる前に、
「このデータに、本当に二項分布を使ってよいのか」
を考える必要があります。
これは品質管理でもデータサイエンスでも重要な姿勢です。

二項分布はAIにも関係がありますか？

かなり関係があります。
例えばAIが製品画像を見て、
　　不良＝1
　　良品＝0
と分類するとしましょう。
1製品だけなら結果は0か1です。
こうした1回の試行は、ベルヌーイ試行(Bernoulli trial)と呼ばれます。
このような試行で得られる確率分布が
ベルヌーイ分布(Bernoulli distribution)です。
そして同じ条件のベルヌーイ試行を \(n\) 回繰り返したとき、
「1が何回出るか」
を表すのが二項分布です。

ということは、
1個について「不良か良品か」を考えるのがベルヌーイ分布、
100個について「不良が何個あるか」を考えるのが二項分布、
という感じでしょうか。

その理解でいいですね。
AIの正解率や検出率などを統計的に評価するときにも、
こうした考え方が土台になります。

ではユキさん、二項分布を一言で説明してみてください。

同じ条件で独立な試行を \(n\) 回行い、
毎回「Aが起こる確率」が \(p\) のとき、
Aが何回起こるか
の確率分布ですね。

式は？

$$ P(X=x) = {}_nC_x p^x(1-p)^{n-x} $$
です。

平均と分散は？

平均は、
$$ \mu=np$$
分散は、
$$ \sigma^2=np(1-p)$$

では、二項分布が正規分布に近づきやすいのは？

\(n\) が大きくなり、
$$ np $$
と、
$$ n(1-p) $$
の両方が十分大きくなったときですね。

十分です。