2-2．同じ平均でもこんなに違う ― データの「ばらつき」を捉える

前回は、データの特徴を表す値として、
平均値、中央値、最頻値について考えましたね。
ではユキさん、平均値が分かれば、
そのデータの特徴は十分に分かるでしょうか？

前回の最後に出てきた例を見ると、
そうではなかったですよね。
平均値が同じでも、
データの広がり方がまったく違うことがありました。

そうでしたね。
では、こんな2つのデータを考えてみましょう。
$$ A：49, 50, 50, 50, 51 $$
$$ B：30, 40, 50, 60, 70 $$
どちらも平均値はいくつでしたか？

どちらも50です。

でも、同じようなデータに見えますか？

全然違います。
Aは50の近くにぎゅっと集まっていますが、
Bはかなり広がっています。

そうですね。
では、この違いを何と表現したらよさそうでしょう？

データの「ばらつき」ですか？

その通りです。
データを見るときには、
「どこを中心にしているのか」
だけではなく、
「その中心から、どのくらい散らばっているのか」
も重要なのです。
品質管理では、このばらつきがとても大切になります。

では、前回から使っているデータをもう一度見てみましょう。
$$ 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5 $$
このデータがどのくらい広がっているのかを、
一番簡単に表すとしたら、どうしますか？

一番小さい値と
一番大きい値を
見ればよさそうですね。

そうですね。
最小値はいくつですか？

1です。

最大値は？

5です。

では、その間の幅は？

5-1=4
ですね。

この
「最大値－最小値」
を「レンジ（range）」、日本語では「範囲」といいます。

これは簡単ですね。
最大値と最小値さえ分かれば計算できます。

そうですね。
では、レンジが同じなら、
データのばらつき方も同じだと言えるでしょうか？

うーん……。
例えば、
$$ 1, 3, 3, 3, 5 $$
と、
$$ 1, 1, 3, 5, 5 $$
なら、どちらも最大値5、最小値1なのでレンジは4です。
でも、真ん中のデータの並び方は違いますね。

そこです。
レンジは便利ですが、
計算に使っているのは何個のデータでしょう？

最大値と最小値だけだから……
2個ですね。

そうです。
100個のデータがあっても、
レンジを見るだけなら使うのは両端の2個だけです。
では、データ全体のばらつきを知りたいとしたら、
どうしたくなりますか？

できれば、全部のデータを使いたいですね。

そう考えるのが自然ですね。

では、全部のデータを使ってばらつきを考えるには、
どうしたらよいでしょう。
ヒントは、前回学んだ「平均値」です。

平均値を中心にして、
それぞれのデータが平均値から
どれくらい離れているかを見る、
とかでしょうか？

とてもいいですね。
まさにその考え方です。
先ほどのデータ、
$$ 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5 $$
の平均値はいくつでしたか？

3です。

では、それぞれのデータから平均値3を引いてみましょう。

はい。
　1-3=-2
　2-3=-1
　2-3=-1
　3-3=0
　3-3=0
　3-3=0
　4-3=1
　4-3=1
　5-3=2
となります。

このような、
「各データの値－平均値」
を「偏差」といいます。

つまり、偏差とは
「そのデータが平均値からどのくらい離れているか」
を表しています。

なるほど。
プラスなら平均より大きく、
マイナスなら平均より小さい
ということですね。

そうです。
ではユキさん、この偏差を全部足せば、
「全体としてどのくらい平均から離れているか」
を表せそうではありませんか？

そうですね。
では足してみます。
$$ -2-1-1+0+0+0+1+1+2=0 $$
なので……
あれ？
ゼロになってしまいました。

どうしてだと思いますか？

平均より小さい値はマイナスで、
平均より大きい値はプラスだから、
お互いに打ち消し合ってしまうんですね。

その通りです。
これは偶然ではありません。
実は、平均値からの偏差をすべて足すと必ず0になります。
\[
\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})=0
\]

必ず0なんですか？

はい。
平均値は、データを左右から釣り合わせたときの
重心のような位置だと考えるとイメージしやすいでしょう。
平均より小さい側のマイナスと、
平均より大きい側のプラスが
ちょうど釣り合う場所なのです。

なるほど。
でも、それだと偏差をそのまま足しても、
ばらつきの大きさには使えませんね。

そうなんです。
では、どうしたらよいでしょう？
マイナスを打ち消させないためには？

マイナスをなくせばいいんですよね。
絶対値を取るとか？

いいですね。
実際、
\[
|x_i-\bar{x}|
\]
のように、
偏差の絶対値を利用してばらつきを表す方法もあります。
それを平均したものは、
「平均絶対偏差」などと呼ばれます。
ただ、絶対値を使う方法も立派な方法ですが、
数学的な計算や理論を展開するときに、
絶対値は少し扱いにくい性質があります。
そこで、もう一つマイナスを消す方法を考えてみましょう。
(-2) をプラスにするには、どうしたらよいでしょう？

二乗ですね。
\[
(-2)^2=4
\]
になります。

そうです。
統計で二乗がよく登場する理由の一つが、
ここにあります。
偏差を二乗すれば、
\[
(-2)^2=4
\]
\[
(-1)^2=1
\]
\[
0^2=0
\]
\[
1^2=1
\]
のように、すべて0以上の値になります。

今まで統計で二乗が出てくるたびに、
「なぜわざわざ二乗するんだろう？」
と思っていたんです。
マイナスとプラスが打ち消し合わないようにしていたんですね。

そう考えると、一つ意味が見えてきますね。
さらに、二乗すると平均から大きく離れたデータほど
大きな値になるという特徴もあります。
例えば偏差が1なら、
\[
1^2=1
\]
ですが、偏差が3なら、
\[
3^2=9
\]
です。

平均から大きく離れたデータを、
より大きく評価することになるんですね。

その通りです。

では、先ほどのデータの偏差を二乗して、全部足してみましょう。

偏差は、
\[
-2,-1,-1,0,0,0,1,1,2
\]
でしたから、
\[
(-2)^2+(-1)^2+(-1)^2
+0^2+0^2+0^2
+1^2+1^2+2^2
\]
ですね。
計算すると、
\[
4+1+1+0+0+0+1+1+4=12
\]
です。

このように、偏差を二乗してすべて足し合わせた値を、
「偏差平方和」
あるいは単に
「平方和」
といいます。
品質管理では「変動」と呼ぶこともあります。

今回の偏差平方和は12ですね。
でも、この12をそのままばらつきとして使ってよいのでしょうか？

どう思いますか？
例えば、同じ程度のばらつきのデータでも、
データ数が
10個の場合と
1,000個の場合では、
偏差平方和はどうなりそうですか？

1,000個の方が、たくさん足すから、大きくなりそうですね。

そうですね。
ですから、そのままではデータ数の影響を受けてしまいます。
どうしたらよいでしょう？

データ数で割って、「1個当たり」にすればいいんですか？

その通りです。
今回のデータは9個ですから、
\[
1.333\ldots
\]
となります。
このように、偏差の二乗の平均を取ったものを「分散」といいます。
分散は\(σ^2\)で書くことが多いです。

偏差を求めて、それを二乗して、平均する。
それが分散なんですね。

そうです。
言葉で表すなら、
「データが平均のまわりに、どのくらいばらついているかを表す値」
と考えてください。
ここでは、この9個のデータ自体を一つの集団と考えているので、データ数 \(n\) で割っています。

「ここでは」ということは、別の割り方もあるんですか？

鋭いですね。
あります。
後で、
「手元にある一部のデータから、
もっと大きな集団全体のばらつきを推定する」
ことを考えるようになると、
\(n\) ではなく \((n-1)\) で割る方法が出てきます。
それは不偏分散と呼ばれるものです。
ただ、今はまず、
「偏差を二乗して、その平均を取ったものが分散」
と理解しておけば十分です。

分かりました。
今はあまり先まで考えないことにします（笑）。

ではユキさん、
分散の式を見て、何か気になることはありませんか？

気になること……。
あっ。
偏差を二乗していますよね。

はい。

例えば、元のデータが製品の重さで、
単位がグラム \([\mathrm{g}]\)だったとします。
偏差もグラムですよね。

そうですね。

それを二乗するから、分散の単位は、
\[
\mathrm{g}^2
\]
になってしまいます。

その通り。
では、
「この製品のばらつきは1.33 \(\mathrm{g}^2\) です」
と言われたら、感覚的に分かりやすいでしょうか？

全然分かりません。
重さなのに平方グラムと言われても、
実際どのくらいばらついているのか
イメージできないですね。

では、元のグラムという単位に戻すにはどうしたらよいでしょう？

二乗したのだから……平方根を取ればいい？

その通りです。
分散の平方根を取ったものを、
「標準偏差」といいます。

なるほど。
だから
分散を \(\sigma^2\) と書いて、
標準偏差を \(\sigma\) と書くんですね。

そうです。
では今回のデータ、
$$ 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5 $$
の標準偏差を求めてみましょう。

分散が、
\(1.333\ldots\)
ですから、
\[
\sqrt{\frac{12}{9}}
\]
なので、
\[
\sigma
\approx1.15
\]
ですね。

そうです。
このデータは
平均値が3、
標準偏差がおよそ1.15
ということになります。

平均値がデータの中心を表して、
標準偏差が、その中心からどのくらい広がっているかを表している。
そういう組み合わせで見るんですね。

まさにそこが重要です。
平均値だけを見ても、データの姿は十分には分かりません。
例えば、
　平均値50、標準偏差1
の工程と、
　平均値50、標準偏差10
の工程では、品質管理上の意味はまったく違います。

平均は同じでも、
後者は製品の値がかなりばらついている可能性がある
ということですね。

そうです。
品質管理では、
「狙った値になっているか」
だけでなく、
「安定してその値を作れているか」
を見ることがとても重要なのです。

ではユキさん、今日出てきた3つを整理してみましょう。
まず「レンジ」とは？

最大値と最小値の差です。
\[
R=\text{最大値}-\text{最小値}
\]
ですね。
簡単に計算できるけれど、最大値と最小値しか使わない。

そうですね。
では「分散」は？

それぞれのデータについて平均値からの差、
つまり偏差を求めて、それを二乗して平均したものです。
データ全体のばらつきを表すことができます。

「標準偏差」は？

分散の平方根です。
分散は単位まで二乗されてしまいますが、
標準偏差なら元のデータと同じ単位になるので、
ばらつきの大きさをイメージしやすくなります。

いいですね。
もう一つ質問です。
なぜ偏差をそのまま平均しないのでしょう？

平均値より小さいデータはマイナス、
大きいデータはプラスになるので、
すべて足すと0になってしまうからです。

では、なぜ二乗するのでしょう？

プラスとマイナスが打ち消し合わないようにするため。
それから、平均値から大きく離れた値をより大きく評価するためですね。

十分です。
もう公式をただ暗記する必要はなさそうですね。

はい。
今までは、
「標準偏差はこの公式だから覚える」
という感じだったんです。
でも、
平均からの距離を考える
　　↓
そのまま足すと0になる
　　↓
だから二乗する
　　↓
二乗した偏差を平均する
　　↓
それが分散
　　↓
元の単位に戻すため平方根を取る
　　↓
それが標準偏差
と考えると、ずっと分かりやすいですね。

その理解ができれば十分です。
統計の公式は、理由もなく作られているわけではありません。
「何を知りたいのか」
から順番に考えると、式の形にも意味が見えてきます。

それではこれまで出てきた代表的な値を
もう少し具体的な数字で見てみましょう。
何がいい例がありますか？

統計の教科書ではテストの点数の例が出てきますけど。

それではテストの点数について考えましょう。
思いつく数字を10個あげてみてください。

88点、75点、57点、45点、62点、77点、92点、32点、59点、61点
はどうでしょうか？

いいですね。
それらの平均値、中央値、レンジ、分散、標準偏差を求めてください。
まずどのような操作をするといいと思いますか？

中央値を求めるのであれば、大きさの順に並べた方がいいですね。
そして、平均を求めるには全部の和を求めるので…、
マナブ先生、Excelを使ってもいいですか？

この後で、Excelの使い方を教えますが、
まずは電卓を使って手計算で求めてみましょう。

大変ですね。でも頑張ってみます。

一度はすべてを手で計算することを経験した方が身に付きます。
表の形にするといいですよ。

このような感じですか？

$$ レンジ＝92-32=60 $$
$$ 中央値 ＝ (61+62)÷2 = 61.5 $$
$$ 平均値 ＝ 648÷10 = 64.8 $$
$$ 分散 ＝ 3115.6÷10 = 311.56 $$
$$ 標準偏差 = \sqrt{311.56} ≒ 17.65 $$

となりました。

よくできました。

それではExcelの関数の使い方を見ていきましょう。

実際のデータ数はもっと多くなり、
日々管理することになるので、
Excelの関数を教えてもらえればうれしいです。

以下が代表的なExcelの関数です。

直接レンジを求める関数はありませんが、
レンジを求めるにはどうすればいいと思いますか？

最大値から最小値を引けばいいので、
MAX(範囲)-MIN(範囲)で計算できます。

正解です。